Математическое моделирование 2021

Введение

 

1. Математическая модель
2. Решение
3. Анализ результатов

 

2.1. Динамическая задача планирования занятости. Варианты.

При выполнении некоторых проектов число рабочих, необходимых для реализации какого-либо проекта, регулируется путем их найма и увольнения. Поскольку как наем, так и увольнение рабочих связано с дополнительными затратами, необходимо определить, каким образом должна регулироваться численность рабочих в период реализации проекта.

Предположим, что проект будет выполняться в течение 5 недель и минимальная потребность в рабочей силе на протяжении i-й недели составит 6, рабочих. При идеальных условиях хотелось бы на протяжении i-й недели иметь ровно 6, рабочих.

Однако в зависимости от стоимостных показателей (затраты на найм, увольнение) может быть более выгодным отклонение численности рабочей силы как в одну, так и в другую сторону от минимальных потребностей. Если X_i — количество работающих на протяжении i-й недели, b_i  -  минимальная потребность в рабочих на протяжении i-й недели, то X_i –b_i>0 означает наличие избытка рабочей силы.

C1(X_i- b_i)=A*(X_i –b_i) — затраты, связанные с необходимостью содержать избыток  (X_j -b_j) рабочей силы.

Если X_i+1 > X_i, то это означает необходимость в дополнительном найме рабочих и влечет связанные с этим затраты -

С2 (X_i-X_i-1)=B+1*(X_i-X_i-1), где X_i-X_i-1>0.

A,B,b_i – представлены в таблице по вариантам.

Решить задачу выравнивания занятости для проекта из 5 периодов при условии наличия 2х видов затрат:

1) C1(X_i- b_i)=A*(X_i –b_i) — затраты, связанные с необходимостью содержать избыток  (X_j -b_j) рабочей силы.

2) С2 (X_i+1-X_i)=B+1*(X_i+1-X_i)  - затраты на дополнительный найм.

Элементы модели динамического программирования определяются следующим образом.

1. Этап i представляется порядковым номером недели i, 1= 1, 2,..., п.

2. Вариантами решения на i-м этапе являются значения X_i — количество работающих на протяжении i-й недели.

3. Состоянием на i-м этапе является X_i-1 — количество работающих на протяжении предыдущей (i - 1)-й недели (этапа).

Рекуррентное уравнение динамического программирования для вычисления затрат представляется в виде

f(X_i ) = min{С1(X_i- b_i)+ С2(X_i-X_i-1)+ f (X_i+1,)}. Решаем задачу методом обратного прогона (от последнего этапа к первому).

Строительный подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из последующих j недель в b_j рабочих. Содержание избытка рабочей силы обходится подрядчику в А тыс.руб за одного рабочего в неделю, а наем рабочей силы на протяжении одной недели обходится в В тыс.руб  плюс 1 тыс.руб. за одного рабочего в неделю. Подобная задача с решением приведена в учебнике [1] на стр.455-457.

 

Варианты заданий

№ студента в группе	b1	b2	b3	b4	b5	A (тыс.руб.)	B (тыс.руб.)
1	3	8	5	4	7	2	4
2	8	3	7	8	3	2	6
3	3	6	7	2	6	2	6
4	7	6	4	5	6	2	5
5	5	6	7	3	7	3	5
6	4	5	8	3	4	3	5
7	3	4	6	3	7	3	4
8	7	5	7	4	5	3	6
9	4	8	3	7	5	3	6
10	3	7	5	6	7	2	5
11	3	7	6	2	7	2	5
12	4	6	3	8	9	2	5
13	3	5	6	9	2	2	4
14	3	7	5	4	6	3	6
15	3	8	4	6	5	3	6
16	4	7	5	7	6	3	5
17	3	5	7	4	7	3	5
18	4	8	6	8	2	3	5
19	8	6	4	7	4	2	4
20	7	3	6	5	2	2	6
21	3	5	6	4	5	2	6
22	4	6	5	8	2	2	5
23	7	6	5	7	4	3	5
24	6	4	6	7	3	3	5
25	3	7	5	7	2	3	4

 

2.2. Статическая задача управления ресурсами предприятия. Составление единовременного производственного плана. Варианты

Производственная фирма производит 2 вида продукции. Известен доход на единицу каждого вида продукции K₀₁ и K₀₂. Также известно, что при производстве используются 2 вида материалов М1 и М2, запасы  которых не превышают заданных значений A₁ и A₂. Расход материалов на каждое изделие известен: K₁₁  и K₁₂ на 1-е изделие и K₂₁  и K₂₂ на 2-е. Известна стоимость каждого ресурса: М1 – 500 руб/ед и М2 – 300 руб/ед (считаем, что K₀₁ и K₀₂ приведены в тыс.руб). Объем выпуска одного вида продукции ограничен сверху х₁     ≤10.

Определить оптимальный план выпуска продукции по критерию максимизации дохода от производственной деятельности.

Провести анализ чувствительности коэффициентов целевой функции и правых частей ограничений (графически и методом неопределенных коэффициентов).. Определить теневые цены ресурсов. Дать рекомендации по улучшению полученного решения. Если рекомендации будут касаться изменения объема запасов, то общую стоимость всех ресурсов не оставить прежней.

 

 

Вариант	а1	а2	b11	b12	B1	b21	b22	B2
1	5	7	4	5	22	4	3	24
2	5	6	4	3	24	4	6	36
3	5	8	2	4	18	4	3	24
4	5	9	2	3	24	4	1	28
5	6	7	1	2	28	3	1	45
6	6	7	1	3	24	3	2	36
7	6	8	2	1	20	3	4	36
8	6	9	1	1	12	3	4	30
9	7	9	2	5	20	4	3	48
10	7	8	2	3	24	4	2	44
11	7	5	2	4	24	4	3	36
12	7	4	2	3	24	4	1	40
13	9	7	1	2	30	3	1	45
14	9	5	1	3	30	3	2	36
15	9	8	1	2	20	3	4	48
16	9	11	1	1	12	3	1	30
17	10	9	1	2	30	3	2	48
18	10	7	1	3	30	4	3	36
19	10	9	1	2	28	2	1	30
20	10	11	1	3	27	2	1	20
21	5	7	2	3	36	4	5	45
22	6	8	1	2	24	4	5	40
23	8	7	2	3	36	4	5	45
24	8	5	1	2	24	4	5	40
25	6	8	2	5	20	3	4	48

 

 

 

3. Симплексный алгоритм

1. Систему вида: а₁*х₁+а₂*х₂…..a_n*x_n-à max  (целевая функция)

  B_i1*x₁+b_i2*x₂….b_in*x_n<=B_i     (i-е ограничение)

В данной системе n переменных – основные.

привести к виду:      х₀-а₁*х₁ - а₂*х₂…. - .a_n*x_n=0

B_i1*x₁+b_i2*x₂….b_in*x_n + b_in+i*x_n+i =B_i

Где выделенные переменные – базисные, равны правой части своей строки, т.к. остальные переменные  - не базисные, равны 0.

В системе появились дополнительные переменные, с помощью которых предел (целевая функция) и неравенства (ограничения на ресурсы) стали уравнениями.

1. Для увеличения целевой функции (переменная х₀ ) произведем переход к новому базису. Включаем в новый базис ту не базисную переменную целевой строки, которая дает наибольшее приращение целевой функции (коэффициент а_j которой отрицателен и максимален по модулю). Это 1й симплекс критерий. Определяет переменную, включаемую в новый базис. 1-й симплекс-критерий определяет направление поиска (сдвига целевой функции) по одной из координат гиперпространства задачи.
2. Определяем переменную среди базисных переменных текущего базиса для исключения из него вместо новой базисной переменной. Для этого находим предельные значения новой базисной переменной по каждой строке ограничения:

х _{j нов} = B_j / b_ij

Выбираем минимальное положительное значение х _{j нов} . В строке, где получено это значение, производим замену базисной переменной текущего базиса на новую. Преобразуем строку, деля всю эту строку на коэффициент b_ij новой базисной переменной х _{j нов} . Эта строка называется опорной.

Это 2-й симплекс критерий, он определяет шаг сдвига целевой функции по выбранной координатной оси.

1. Удаляем из остальных строк системы новую базисную переменную с помощью опорной строки. Полученные уравнения являются системой следующего шага для нового базиса.
2. Повторяем пп. 2-4 до тех пор, пока ни одна из небазисных переменных целевой строки не сможет улучшить значение целевой функции ( все коэффициенты в целевой строке положительны)

 

4.Коэффициентный анализ чувствительности (пример)

Коэффициентный анализ чувствительности параметров модели к изменениям позволяет определить влияние изменений различных коэффициентов исходной модели на оптимальное решение.

Неизбежное колебание значений таких параметров, как цены на продукцию, материалы и сырье, запасы материалов и сырья, спрос на рынке, нормы расхода материалов на производство продукции и т.д. может привести к неоптимальности или непригодности прежнего режима работы, технологий производства. Для учета подобных ситуаций проводится анализ чувствительности, т.е. анализ того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение задачи ЛП.

Для проведения анализа чувствительности ограничения линейной модели классифицируются следующим образом:

• Дефицитные ограничения проходят через оптимальную точку. 
• Недефицитные ограничения не проходят через оптимальную точку.

Аналогично, ресурсы называют дефицитным недефицитным.

Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на ОДР (область допустимых решений) и, следовательно, на оптимальное решение. Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.

1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов (правых частей ограничений):

· на какую величину можно увеличить запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?

· на какую величину можно уменьшить запас недефицитного ресурса при сохранении оптимального значения ЦФ?

2.  Увеличение запаса какого из ресурсов наиболее выгодно? Сравниваем теневые цены дефицитных ресурсов по их коэффициентам в целевой строке на последней итерации.

3.  Анализ изменения коэффициентов ЦФ: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?

 

Пример:

3х₁+2х₂→max

1x₁+1x_2­≤10

4x₁+3x₂≤36

2x₁+1x₂≤24

1 шаг

             (0)  х₀-3х₁-2х₂=0

 I          (1)  1x₁+1x₂+1х_3­=10                х_1нов=10

             (2)  4x₁+3x₂+1х₄=36                х_1нов=9 - минимальное

             (3)  2x₁+1x₂+1х₅=24                х_1нов=24

Небазис.: х₁=х₂=0

Базисные переменные : х_0, х_3, х_4, х₅

I симплекс критерий: включаем х₁

II симплекс критерий: исключаем х₄

2 шаг

             (0)  х₀+1/4х₁+3/4х₂=27

 F          (1)  -1/4x₂+1x₃-1/4х_4­=1               

              |2|  1x₁+3/4x₂+1/4х₄=9 

              (3)  -1/2х₂-1/2х₄+1х₅=6 

Анализ чувствительности коэффициентов целевой функции

Добавим неопределенный коэффициент δ к коэффициенту при х₁ в строку 0 на первой итерации (I). Получим:

I(0) х₀-(3+δ)х₁-2х₂=0

-3х₁ участвовало в решении системы и было преобразовано по ходу решения, а –δх₁ не участвовало в решении. Поэтому получаем на последней итерации:

F(0) х₀-δх₁+1/4х₂+3/4х₄=27

По правилам симплекс метода х₁ не может присутствовать в целевой функции. Удалим –δх₁ из строки 0 по формуле

стр|2| на F *(+δ)+ стр.(0) на F →стр.(0) на F

 

 

Получаем:

   δх₁+3/4δх₂+1/4δх₁=9δ

+

   х₀-δх₁+1/4х₂+3/4х₄=27

Чтобы эта строка(0) оказалась строкой последнего шага необходимо, чтобы все коэффициенты были положительны. Решаем систему неравенств.

              →                      →                  

 

δ ԑ [-1/3;+∞) – диапазон нечувстительности

 

Определим диапазон нечувствительности при коэффициенте х₂.

I(0) х₀-3х₁-(2+δ)х₂=0

F(0) х₀+(1/4-δ)х₂+3/4х₄=27

Чтобы текущая итерация оказалась последней, нужно чтобы коэффициенты целевой функции были положительными.

      ¼-δ0,   значит    δ≤1/4

 

δ ԑ (-∞;1/4)

Константы в правых частях ограничения. Анализ чувствительности ограничений.

Исследуем на чувствительность ограничения I(1)

I(1)    1x₁+1x₂+1х_3­=10+δ  

F(1)  -1/4x₂+1x₃-1/4х_4­=1+δ               1+δ≥0   δ≤-1   δ ԑ [-1;+∞)            

 I(2)   4x₁+3x₂+1х₄=36+δ                   

т.к. переменная х₁ перестала быть базисной, а это значит, что строка ее содержащая была опорной и участвовала в преобразовании остальных строк системы, благодаря чему δ появилась в правых частях всей системы, т.е. в новой системе на F правые части получат δ, умноженный на коэффициент при переменной соответствующего ресурса в данной строке:

(0)    х₀+1/4х₂+3/4х₄=27+3/4δ≥0               δ≥-36

(1)    -1/4х₂+1х₃-1/4х₄=1-1/4δ≥0                δ≤4

 |2|     1х₁+3/4х₂+1/4х₄=9+1/4δ≥0               δ≥-36

 

δ ԑ [-36;4]

Как интерпретировать диапазон нечувствительности полностью израсходованного (дефицитного ресурса)? В пределах этого диапазона данный ресурс остается дефицитным и от него по-прежнему зависит объем выпускаемой продукции.

 

5.Инструкция по оформлению курсовой работы с примерами

1. Так оформляем заголовки каждой главы

В курсовой работе так должна быть оформлена глава, этим шрифтом, форматированием, абзацами и пр.

Текст должен быть изложен с предельной краткостью, совместимой с ясностью изложения, и окончательно обработан.

Помните про ПЛАГИАТ и АНТИПЛАГИАТ. Не допускайте прямого цитирования без ссылок. Это Ваша работа, Ваш текст. Помните: Метод написания работ «Копи-паст» – для людей с пониженным интеллектом! 

Можно использовать перечисление таким образом:

1.       Работа содержит оригинальные результаты, сведения, ранее нигде не опубликованные.

2.      Работа точно отражает полученные научные или практические результаты и тенденции развития сложившейся практики их получения авторским коллективом или автором.

Можно выделять наиболее важные фразы в виде редактируемой версии. Сам файл нужно представить на проверку в формате .doc (MS Word’2003) или .docx.

Оформление подзаголовков

Электронный вариант текста должен быть представлен MS Word’2003 (.doc) или .docx. Рисунки вставляются в файл, содержащий текст работы в порядке их упоминания. Предпочтительный формат рисунков – .jpg. Рисунки размером более чем 200 кБайт можно сжать без потери качества, уменьшив разрешение и размер.

Текст должен быть набран шрифтом Times New Roman в 14 пунктов в одну колонку через одинарный интервал с размерами полей с каждой стороны по 20 мм. Абзацный отступ – 1,25 см. Рекомендуется, чтобы общий объем текста находился в пределах 25 – 37 страниц.

Также рекомендуется следующее:

1.    использовать

8.    нумерованный список литературы. Шрифт Times New Roman, 13 кегль.

Следует обязательно использовать встроенный редактор формул. Формулы набираются только во встроенном редакторе формул, предпочтение отдается MS Equation 3.0, допускается использовать MathType. В формулах русские, греческие буквы – прямые, латинские – курсивные.

В обозначениях и индексах (в тексте и на рисунках) следует использовать только латинские буквы, например, следует писать P_max, а не P_макс.

Цитируемая литература должна даваться не в виде подстрочных примечаний, а общим списком в конце с указанием в тексте ссылки порядковой цифрой в прямых скобках (например, [4]). Литература дается в порядке упоминания. Оформление библиографического источника – по ГОСТ 7.1-2003 «Библиографическая запись. Библиографическое описание» или по представленным образцам.

Пример оформления формулы:

                                               (1)

где ψ – фиксированная функция, называемая «материнским вейвлетом», которая хорошо локализована как по частоте, так и по времени.

Пример оформления таблицы – таблица 1.

 

 

 

Таблица 1.Теоретически полученные результаты для отдельного измерения

Параметр	Значение
Толщина конструкции L, м	0,0327
Толщина картона h, м	0,0002

 

Использование рисунков, выполненных в MS Word, не допускается. Все рисунки и чертежи должны быть выполнены четко, в формате, обеспечивающем ясность понимания всех деталей; это особенно относится к фотокопиям и полутоновым рисункам. Рисунки, выполненные карандашом и отсканированные, не принимаются. Поясняющие надписи следует по возможности заменять цифрами и буквенными обозначениями, разъясняемыми в подписи к рисунку или в тексте. Пример выполнения подрисуночной надписи – Рис 1. Типичная система с одним входом-выходом (рис. 1):

  

Рис. 1. Типичная система с одним входом-выходом

 

Пример оформления ссылок на литературу – [1], [1, 2, 3, 4], [2, 4, 5, 6].