39
Лаборатория«Механика»
Лабораторная работа №2
Определение ускорения свободного падения
с помощью математического маятника
Цель работы: научиться определять ускорение свободного падения с
помощью математического маятника.
Оборудование: математический маятник, секундомер.
Теоретическая часть
Ускорение свободного падения
Ускорение свободного падения–это
ускорение, придаваемое любому телу силой
тяжести, которая складывается из
гравитационного притяжения планеты(или
другого астрономического тела) и
центробежных сил, вызванных её
вращением(рис.4м.1).
Этоускорениезависитотгеографической
широты местности , высоты над уровнем
моря h, плотности земных пород и ряда других
факторов(таблица1).
Рис.1
Таблица1
Город
Долгота
Широта
Высота
надуровнемм
оря,
м
Ускорение
свободного
падения,м/с2
полюс
90
9,832
Осло
10,72в.д.
59,91с.ш.
28
9,81927
Санкт-Петербург
3019'00''
5957'00'' с.ш.
3
9,8191
Стокгольм
18,06в.д.
59,34с.ш.
45
9,81843
Москва
37,61в.д.
55,75с.ш.
151
9,8154
Тула1
3737'00''
5412'00''с.ш.
170
9,8137
Минск
27,55в.д.
53,92с.ш.
220
9,81347
Берлин
13,40в.д.
52,50с.ш.
40
9,81280
Гринвич
0,00в.д.
51,48с.ш.
48
9,81188
Киев
30,30в.д.
50,27с.ш.
179
9,81054
Прага
14,39в.д.
50,09с.ш.
297
9,81014
Париж
2,34в.д.
48,84с.ш.
61
9,80943
Вена
16,36в.д.
48,21с.ш.
183
9,80860
Будапешт
19,06в.д.
47,48с.ш.
108
9,80852
Одесса
30,73в.д.
46,47с.ш.
54
9.80735
нормальное
45
9,80665
39
Лаборатория«Механика»
1Gravity Information System (PTB) [Электронный
ресурс].URL:http://www.ptb.de/cartoweb3/SISproject.php.(датаобращения0
7.08.2017).
40
Лаборатория«Механика»
Владивосток
131,53в.д.
43,06с.ш.
50
9,80424
Рим
12,99в.д.
41,54с.ш.
37
9,80312
Нью-Йорк
73,96з.д.
40,81с.ш.
38
9,80247
Мадрид
3,69в.д.
40,41с.ш.
667
9,79981
Вашингтон
77,01з.д.
38,89с.ш.
14
9,80112
Токио
139,80в.д.
35,71с.ш.
18
9,79801
Каир
31,28в.д.
30,07с.ш.
30
9,79317
экватор
0
9,78
Математическиймаятник
Математическим маятником называется материальная точка массой
m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l, второй конец
которой закреплён, в поле силы тяжести(рис.2).
В реальности это тяжёлый маленький шарик на длинной
прочнойлёгкой нити. Чем больше длина нити по сравнению с диаметром
шарика, тем точнее его можно принять за математический маятник.
Положение маятника в любой момент времени полностью
определяется углом его отклонения от положения равновесия.
Используем 2-йзакон Ньютона и естественные оси координат
(1)
Впроекциинакасательнуюось
mamgsin, (2)
гдекасательноеиугловоеускорениясвязаны
формулой azl,аz.
Сократив на массу, получаем уравнение
lgsin, (3)
После преобразований окончательно
получаем
где2g. l
2sin0, (4) Рис.2
При малых углах sin
(таблица2), и тогда
20. (5)
При этих условиях колебания
маятника будут гармоническими, и их
периодопределяетсяпоформуле
T2 . (6)
l
g
Таблица2
,
,рад
sin(
|-sin(
1
0,017453
0,017452
0,01%
5
0,087266
0,087156
0,13%
10
0,174533
0,173648
0,51%
15
0,261799
0,258819
1,14%
20
0,349066
0,342020
2,02%
25
0,436332
0,422618
3,14%
30
0,523599
0,500000
4,51%
41
Лаборатория«Механика»
Из теории колебаний маятника следует, что при
амплитудеколебанийменьше10°, период его колебаний
практически не зависит от амплитуды, и почти равен периоду,
рассчитанному по формуле (6). При такой амплитуде отношение периода
колебаний маятника T1 к периоду его
Гармонического колебания T составляет
0,2%.
T11,0019, то есть разница менее
T
41
Лаборатория«Механика»
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Порядок выполнения работы
1. Используя подручный материал (нитки, ученический ластик и любой другой
предмет) создать математический маятник (см. рис.)
2. Измерить длину нити Lпри помощи линейки с точностью до 1–5 мм. Указать
погрешность измерения Δl, как приборную погрешность линейки.
3. Отклонить математический маятник на небольшой угол (не более 100) и с
помощью секундомера (можно использовать секундомер на телефоне) измерить
время десяти полных колебаний маятника. Опыт повторить не менее 5–ти раз.
Полученные результаты занести в таблицу 1.
4. Рассчитать погрешность измерения времени
tРезультаты вычислений занести
в таблицу 1. 4. Вычислить период колебаний
математического маятника по формуле:
10
t
м
Т
и его абсолютную погрешность по
формуле:
10
м
Tt
Tм
Е
м
T
. Результаты
вычислений занести в таблицу 1.
5. Вычислить ускорение свободного падения,
подставив длину нити и период
колебаний математического маятника Тм в
формулу:
2
2
м
T
g
.
Результаты вычислений занести в таблицу 2.
6. Вычислить погрешность вычисления
ускорения по формулам:
2
4
2
g
м
Т
м
T
g
g
Е
,
.
g
gg Е
Здесь – погрешность измерительной линейки (цена наименьшего деления
шкалы линейки), Tм – погрешность измерения периода колебаний
математического маятника.
8. Округлив полученные результаты, записать ответ по форме:
Ответ: ускорение свободного падения равно:
ggg
м/с2.
Пример оформления ответа. Ответ: масса груза равна:m = (102,5
0,1)
г.
Рис. 4
41
Лаборатория«Механика»
Таблица 1 Измерение времени колебаний математического маятника
№
опыта
ti, c
ti, с
(
ti)2, с2
Данные и результат
1
=0,95tn
=2,8
2
L=
=
3
t = Еt =
4
t =
5
Tм = <Tм>

Tм
n(n-1)=
<t>=
tp=
Snt=
ЕTм= Еt=
Таблица 2 Определение ускорения свободного падения
g, м/c2
g, м/c2
Еg
g g, м/c2
Приложение
ПОРЯДОК И ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Провести многократное измерение величины X несколько раз и результаты занести
в таблицу 1 (Хi, где i =1, 2, n, где n- число измерений).
2. Найти среднеарифметическое значение <Х> = (Х1+ Х2+. + Хn)/n и записать в
таблицу 1.
3. Найти модули разности Хi - <Х> = Хi для каждого измерения и занести их в
таблицу 1.
4. Вычислить квадраты абсолютных погрешностей (Хi)2, результаты записать в
таблицу 1.
5. Вычислить сумму квадратов Sх = (Х1)2 +..+ (Хn)2 ,а затем и средне квадратичную
погрешность результатов измерений:
1
nn
S
Sx
nt
.
6. По таблице 2 с учётом заданной преподавателем надежности α и числа измерений n
определить коэффициент Стьюдента tn..
7. Вычислить абсолютную погрешность результата измерений: Хр = tnSnt.
8. Полная абсолютная погрешность результата измерений
1) если
р
Х
, то
р
ХХ
;
2) если
p
X
, то
X
;
3) если
p
X
, то
22 p
XX
.
9. Вычислить относительную погрешность измерений
Х
Х
Х
, все результаты
занести в таблицу 1.10. Окончательный результат округлить и записать в форме: Х =
(<Х>Х) ед. измерения.
Пример. Ответ: плотность цилиндра = (7,82 0,05)103кг/м3.
41
Лаборатория«Механика»
Таблица 3. Коэффициенты Стьюдента
n
t
n
0.5
0.7
0.9
0.95
0.99
2
1,0
2,0
6,3
12,7
63,7
3
0,82
1,3
2,9
4,3
9,9
4
0,77
1,3
2,4
3,2
5,8
5
0,74
1,2
2,1
2,8
4,6
6
0,73
1,2
2,0
2,6
4,0
10
0,70
1,1
1,8
2,3
3,3